Diagonalización , Diagonalización de Matrices

Diagonalización

 En matemáticas y, en particular, en álgebra lineal, diagonalización es un proceso que permite simplificar la descripción de ciertos endomorfismos de un espacio vectorial. En particular, identificando el endomorfismo con su matriz asociada en cierta base, se puede hablar de diagonalización de matrices. Consiste en encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios, si existe alguna. Esto se refleja en obtener una base tal que la matriz asociada al endomorfismo en la misma es una matriz diagonal.
El proceso se reduce, pues, a una reducción máxima del endomorfismo, es decir, a una descomposición del espacio vectorial en suma directa de subespacios vectoriales invariantes por el endomorfismo. Restringido sobre cada uno de ellos, el endomorfismo se reduce a una homotecia. Por tanto, la diagonalización permite una mejor visualización geométrico de la actuación del endomorfismo sobre el espacio vectorial. Además, la diagonalización permite un cálculo rápido y simple de potencias y exponenciales de matrices (entendidas como matrices de un endomorfismo), lo que permite expresar numéricamente ciertos sistemas dinámicos lineales, obtenidos por iteración o por ecuaciones diferenciales.

Diagonalización de Matrices

Definición: Decimos que una matriz $A$ de tamaño $n\times n$ es diagonalizable si existen una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que$$P^{-1}AP=D\text{o equivalentemente},A=PD{P}^{-1}.$$En otras palabras, $A$ es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.

Observación: Como $A$ y $D$ tienen los mismos valores propios, las entradas diagonales de $D$ son los valores propios de $A$ repetidos de acuerdo a su multiplicidad algebraica.

Teorema: Una matriz $A$ de tamaño $n\times n$ es diagonalizable si y sólo si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.

Prueba: $(\Rightarrow )$ Supongamos que existen $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $P^{-1}AP=D,$ esto es $AP=PD.$ Sean $p_1,\dots ,p_n$ las columnas de $P$ y sean ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$ las entradas de la diagonal de $D.$ Entonces$$\left[A{p}_1\mid \cdots \mid A{p}_n\right]=A\left[p_1\mid \cdots \mid p_n\right]=\left[p_1\mid \cdots \mid p_n\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[{\lambda }_1{p}_1\mid \cdots \mid {\lambda }_n{p}_n\right].$$Luego, $A{p}_k={\lambda }_k{p}_k$. Esto es, las columnas de $P$ son vectores propios de $A.$ Como $P$ es invertible (sus columnas son linealmente independientes, se sigue que $A$ tiene $n$ vectores propios L.I.)

$(\Leftarrow )$ Supongamos que $A$ tiene $n$ vectores propios L.I. $p_1,\dots ,p_n$ asociados a los valores propios ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n.$ Entonces $A{p}_k={\lambda }_k{p}_k$, para $k=1,\dots ,n.$ Si $P$ es la matriz cuyas columnas son $p_1,p_2,\dots ,p_n$, lo anterior es equivalente a que $AP=PD.$ Como los vectores $p_k$ son L.I., entonces la matriz $P$ es invertible. Por tanto, $P^{-1}AP=D.$

Observación: Así, $A$ es diagonalizable si y sólo si existen una matriz $P$ cuyas columnas son $n$ vectores propios L. I. de $A$ y una matriz diagonal $D$ cuyas entradas diagonales son los valores propios de $A$ correspondientes a los vectores propios en $P$ en el mismo orden.

Teorema: Sea $A$ una matriz de tamaño $n\times n$ y sean ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ valores propios distintos de $A.$ Si $B_i$ es una base para $E_{{\lambda }_i},$ entonces $B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_k$ es linealmente independiente.

Ejemplo: ¿Es la matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& -2& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right]$ diagonalizable?

Solución: Vimos que $A$ tiene dos valores propios ${\lambda }_1=-2$ y ${\lambda }_2=0.$ También mostramos que$$B_1=\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}\text{y}{B}_2=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\},$$son bases para los espacios propios de ${\lambda }_1=-2$ y ${\lambda }_2=0,$ respectivamente. Por tanto, $A$ tiene $3$ vectores propios linealmente independientes. Luego, $A$ es diagonalizable.

Corolario: Si $A$ es una matriz de tamaño $n\times n$ que tiene $n$ valores propios distintos, entonces $A$ es diagonalizable.

Lema: Sea $A$ una matriz cuadrada. La multiplicidad geométrica de cada valor propio es menor o igual que su multiplicidad algebraica.

Teorema de Diagonalización: Sea $A$ una matriz de orden $n\times n$ cuyos distintos valores propios son ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k.$ Los siguientes enunciados son equivalentes

1. $A$ es diagonalizable.
2. La unión de las bases de los espacios propios de $A$ contiene $n$ vectores.
3. La multiplicidad algebraica de cada valor propio es igual a su multiplicidad geométrica.

Ejemplo: Sea $A$ una matriz de orden $3\times 3$ con valores propios ${\lambda }_1=2$ y ${\lambda }_2=-2.$ Si los espacios propios son$$E_2=\left\{\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\in R^3\mid x-y-z=0\right\}\text{y}{E}_{-2}=gen\left(\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ -2\\ 2\end{array}\right]\right),$$responda las siguientes preguntas justificando su respuesta.

1. ¿Es $A$ una matriz diagonalizable? En caso afirmativo, halle $P$ invertible y $D$ diagonal tales que $P^{-1}AP=D.$ ¿Cuál es el determinante de $A$? ¿Es $A$ invertible?
2. ¿Es la matriz $B=2A+3I_3$ diagonalizable? ¿Es $B$ invertible?
3. ¿Cuál es el polinomio característico de $A$?

Solución:

1. Primero, notemos que$$E_2=gen\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right)\text{y}{E}_{-2}=espacio\left(\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]\right).$$Luego, la unión de las bases de los espacios propios de $A$ contiene $3$ vectores. Por el teorema de diagonalización, $A$ es diagonalizable.
   Hay varias posibilidades. Podemos tomar, por ejemplo,$$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]\text{y}D=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right].$$
2. Como $A\sim D,$ entonces$$detA=detD=2\cdot \left(-2\right)\cdot 2=-8\ne 0.$$Luego, $A$ es invertible.
3. Veamos si la matriz $B=2A+3I_3$ es diagonalizable. Por 1., $P^{-1}AP=D$ con $P$ invertible y $D$ diagonal. Luego,$$B=2A+3I_3=2\left(PD{P}^{-1}\right)+3P{I}_3{P}^{-1}=P\left(2D\right)P^{-1}+P\left(3I_3\right)P^{-1}=P\left(2D+3I_3\right)P^{-1}.$$Así, $P^{-1}BP=2D+3I_3.$ Como $P$ es invertible y $2D+3I_3$ es diagonal, se sigue que $B$ es diagonalizable.
   Notemos que$$2D+3I_3=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& -4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right].$$Luego, $detB=det\left(2D+3I_3\right)=-49\ne 0.$ Por consiguiente, $B$ también es invertible.
4. Dado que $A$ es diagonalizable, tenemos que $m.a.\left(-2\right)=m.g.\left(-2\right)=1$ y $m.a.\left(2\right)=m.g.\left(2\right)=2.$ Por tanto,$$p_A\left(\lambda \right)={\left(-1\right)}^3\cdot {\left(\lambda -\left(-2\right)\right)}^1\cdot {\left(\lambda -2\right)}^2=-\left(\lambda +2\right)\cdot {\left(\lambda -2\right)}^2.$$

Ejemplo: ¿Es $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$ diagonalizable?

Solución: Hallemos el polinomio característico para la matriz $A$$$p_A\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0& 1\\ 0& 1-\lambda & -1\\ 1& 1& -\lambda \end{array}\right|=-{\lambda }^3+2{\lambda }^2-\lambda =-\lambda \left({\lambda }^2-2\lambda +1\right)=-\lambda {\left(\lambda -1\right)}^2.$$Luego, los valores propios de $A$ son ${\lambda }_1=0$ con $m.a.\left(0\right)=1$ y ${\lambda }_2=1$ con $m.a.\left(1\right)=2.$
Ahora, encontremos bases para los espacios propios asociados a los valores propios de $A:$$$\begin{array}{ccccccccc}A-0I_3& =& A& =& \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]& & \Rightarrow & & E_0=gen\left(\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right).\\ & & & & & & & & \\ A-1I_3& =& A-I_3& =& \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]& & \Rightarrow & & E_1=gen\left(\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right).\end{array}$$Por tanto, $m.g.\left(0\right)=1$ y $m.g.\left(1\right)=1.$ Como$$m.a.\left(1\right)=2\ne 1=m.g.\left(1\right),$$tenemos que $A$ no es diagonalizable.

Ejemplo: Sea $A$ diagonalizable. Pruebe que si $A$ es invertible, entonces $A^{-1}$ también es diagonalizable.

Prueba: Como $A$ es diagonalizable, existen matrices $P$ invertible y $D$ diagonal tales que$$P^{-1}AP=D$$Como $A$ es invertible, tenemos que $detD=detA\ne 0.$ Luego, $D$ también es invertible. Luego,$$D^{-1}={\left(P^{-1}AP\right)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}{\left(P^{-1}\right)}^{-1}=P^{-1}{A}^{-1}P.$$Como $P^{-1}$ es invertible y $D^{-1}$ es diagonal, podemos concluir que $A^{-1}$ es diagonalizable.

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